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Logic Math


Breve Historia de la Lógica

El nacimiento de la lógica propiamente dicho está directamente relacionado con el nacimiento intelectual del ser humano. La lógica emerge como mecanismo espontáneo en el enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para comprenderla y aprovecharla. Poincaré destaca cinco etapas o revoluciones en ese proceso que se presentan entre dos grandes tópicos: del rigor y la formalidad, a la creatividad y el caos. Las etapas se identifican como: Revolución Matemática, Revolución Científica, Revolución Formal y Revolución Digital además de la próxima y prevista Revolución Lógica.

Lógica Matemática

La lógica matemática cuestiona con rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en matemáticas lo que convierte la lógica en una especie de metamatemática. Una teoría matemática considera objetos definidos -enteros, por ejemplo- y define leyes que relacionan a estos objetos entre sí, los axiomas de la teoría. De los axiomas se deducen nuevas proposiciones -los teoremas-, y a veces, nuevos objetos. La construcción de sistemas formales -formalización, piedra angular de la lógica matemática-, permite eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir explícita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática.

Las Matemáticas y la Lógica

Del año 600 aC hasta 300 aC se desarrollan en Grecia los principios formales de las matemáticas. Este periodo clásico lo protagonizan Platón, Aristóteles y Euclides. Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático. En los Elementos Euclides organiza las pruebas deductivas de que dispone dentro de una estructura sistemática, rigurosa, altamente eficaz.

Platón

Platón, 427aC - 347 aC, propone instaurar en Siracusa una utópica república dirigida por filósofos. Crea la Academia de Atenas que no era solo una institución filosófica, sino centro de formación política para jóvenes aristócratas. Según algunos especialistas, Platón edifica su teoría del conocimiento con el fin de justificar el poder emergente de la figura del filósofo. Sostiene la existencia de dos mundos -el mundo de las ideas y el de mundo físico de los objetos. Según Platón, lo concreto se percibe en función de lo abstracto y por tanto el mundo sensible existe gracias al mundo de las ideas. Platón escoge el formato diálogo como forma de transmisión del pensamiento.

Aristóteles

Los tratados de lógica de Aristóteles, 384aC - 332 aC, conocidos como Órganon, contienen el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia. Aristóteles no hace de la lógica una disciplina metafísica sino que establece correspondencias recíprocas entre pensamiento lógico y estructura ontológica. El silogismo fue adoptado por los escolásticos que representan el sistema teológico-filosófico, característico de la Edad Media. La escolástica, sin embargo, acabó por sobrecargar la teoría del silogismo, lo que acarreó su descrédito a partir del Renacimiento. Los lógicos de la edad moderna como Ramée, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, y Lambert procuraron simplificarla al máximo, y su tratamiento matemático se completó hasta principios del siglo XX con Boole, De Morgan, Frege y Russell. Desde entonces el silogismo se incluye en la lógica de predicados de primer orden y en la lógica de clases, y ocupa en la ciencia lógica un papel mucho menor que en otros tiempos.

Euclides

Matemático alejandrino autor de la universal obra, los célebres Elementos. Uno de los textos matemáticos más relevantes de la historia del pensamiento científico hasta del siglo XIX. Los Elementos están divididos en XIII Libros y constituyen la recopilación más exhaustiva de las matemáticas conocidas en el año 300 aC. Su valor universal lo propaga el uso riguroso del método deductivo que distingue entre principios -definiciones, axiomas y postulados-, y teoremas, que se demuestran a partir de los principios. A lo largo de la historia se mantuvo la sospecha de que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores. El deseo de resolver tal hipótesis ocupa hasta el siglo XIX con la construcción de las geometrías no euclidianas y se deduce con ellas la imposibilidad de demostrar el quinto postulado.

Apolonio de Perge

La obra sobre curvas cónicas de Apolonio de Perge, «un geómetra de la época helenística-, inicialmente dirigido a euclidianos exquisitos, se convirtió en manual para balísticos del Renacimiento como Tartaglia y, poco después, en base inmediata de la dinámica newtoniana».

La Ciencia Matemática

Ante el retroceso de la escuela clásica de los griegos se presentan periodos de autoridad religiosa. El Renacimiento es el inicio de una nueva revolución que revive la ciencia y las matemáticas. Los representantes más destacados son Descartes, Newton y Leibniz. Este periodo abarca del año 1500 dC al 1800 dC.

René Descartes

Filósofo y matemático francés, 1596-1650, parte de la duda universal como principio y prescinde de cualquier conocimiento previo que no quede demostrado por la evidencia con que ha de manifestarse el espíritu. Descartes duda de toda enseñanza recibida, de todo conocimiento adquirido, del testimonio de los sentidos e incluso de las verdades de orden racional. Llegado a este punto, halla una verdad de la que no puede dudar: la evidencia interior que se manifiesta en su propio sujeto («pienso, luego existo»). Como científico, se debe a Descartes, entre otras aportaciones de considerable importancia, la creación de la geometría analítica a la vez que aporta un corpus cuantitativo al asunto y permite el uso de métodos algebraicos. La geometría exige ser cuantitativa para ser usada en ciencia e ingeniería, y los métodos algebraicos permiten el desarrollo más rápido que los métodos sistemáticos -a su vez más rigurosos- requeridos por el enfoque axiomático de la geometría clásica. Ubi dubium ibi libertas, donde hay duda hay libertad.

Isaac Newton

A Isaac Newton, 1642-1727, se le debe el descubrimiento de la gravitación universal, el desarrollo del cálculo infinitesimal e importantes descubrimientos sobre óptica, así como las leyes que rigen la mecánica clásica que alimentaría el nacimiento de la mecánica cuántica. Su obra fundamental, Principios matemáticos de la filosofía natural (1686).

Gottfried W. Leibniz

Filósofo y matemático alemán, 1646-1716; fundó la Academia de Ciencias de Berlín, 1700. En Discurso sobre el arte combinatorio enuncia la necesidad de un lenguaje riguroso, exacto y universal puramente formal. Como matemático, su principal trabajo publicado en 1684 es la memoria Nuevo método para la determinación de los máximos y los mínimos, en la que expone las ideas fundamentales del cálculo infinitesimal, anticipándose unos años a Newton. La notación que empleó es particularmente cómoda y se sigue utilizando con algunas modificaciones; introdujo el símbolo de integral y de diferencial de una variable. En el área de lógica matemática publica Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum y Fundamenta calculi logici.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel

Filósofo alemán, 1770-1831; fascinado por la obra de Kant y de Rousseau. Autor de Ciencia de la lógica se le atribuye con este trabajo la constitución de la lógica dialéctica entendida como principio motor del concepto que disuelve y produce las particularidades de lo universal.

Nikolai I. Lobachevsky 


Matemático ruso, 1792-1856; funda la Geometría No Euclidiana y renueva por ello los fundamentos que hasta ese momento cimentaban la ciencia de la Geometría. Lobachevsky lleva a cabo su revolución en el planteamiento que hasta entonces había utilizado la ciencia Matemática para resolver el enigma del quinto postulado de Euclides que a su vez sirve de puerta a Lobachevsky para adentrarse en los renovados campos de lo físico y lo real.

Formalización de las Matemáticas 

Esta etapa se caracteriza por el resurgimiento de la formalización rigurosa de las matemáticas, que en la etapa clásica griega fue representativa. El uso de los infinitesimales fue una de las prácticas más notoria en la época renacentista, para la cual no se ofrecía una justificación. La rigorización del análisis llegó con la eliminación de los infinitesimales y la presencia de los límites como argumento. En este periodo se crea la lógica simbólica, la escuela formal, la lógica booleana, el cálculo proposicional, la inducción matemática, el cálculo de secuentes,... Personajes muy notables de esta etapa son: Peano, Hilbert, Frege, Boole, de Morgan, Gentzen, Russell, Gödel y Whitehead. A Rusell y Gödel se deben los planteamientos de las limitantes de la lógica y de la ciencia en general.

Giuseppe Peano

La enunciación de los principios del italiano Giuseppe Peano, 1858-1932, acerca de lógica matemática y su aplicación práctica quedaron contenidos en su obra Formulaire de mathematiques. Los axiomas de Peano permiten definir el conjunto de los números naturales.

David Hilbert

Matemático alemán, 1862-1943, aporta grandes avances a campos fundamentales de la relatividad y la mecánica cuántica con la Teoría de Invariantes y el concepto de Espacio de Hilbert. A partir de las fuentes griegas de Euclides, publica en 1899 su obra Fundamentos de Geometría, en la que formula sus principios de axiomatización de la geometría. Según sus teorías, es necesario establecer un conjunto de postulados básicos antes de plantear de modo más detallado cualquier tipo de problema físico o matemático. Estos principios deben ser simbólicos, sin recurrir a dibujos y representaciones gráficas, y es necesario prever la mayoría de las posibilidades con antelación. Su concepción reconocía tres sistemas de entes geométricos, puntos, rectas y planos a los que pueden aplicarse axiomas distribuidos en cinco categorías: pertenencia, orden, igualdad o congruencia, paralelismo y continuidad.

Friedrich G. Frege

Junto con Boole y Peano, el matemático y lógico Friedrich G. Frege, 1848-1925, partiendo del análisis de los fundamentos de la matemática lleva a cabo la más profunda renovación y desarrollo de la lógica clásica hasta el momento. Es el primero en introducir los cuantificadores u operadores y en elaborar una Teoría de la Cuantificación.

George Boole

El lógico y matemático George Boole, 1815-1864 aplica el cálculo matemático a la lógica, fundando el álgebra de la lógica. En cierto modo realiza el sueño de Leibniz de una characteristica universalis o cálculo del raciocinio. El empleo de símbolos y reglas operatorias adecuadas permite representar conceptos, ideas y razonamientos mediante variables y relaciones (ecuaciones) entre ellas. Boole dio un método general para formalizar la inferencia deductiva, representando complicados raciocinios mediante sencillos sistemas de ecuaciones. Así, la conclusión de un silogismo se encuentra eliminando el término medio de un sistema de tres ecuaciones, conforme a las reglas del álgebra común, La formalización de la lógica, iniciada por Boole, ha contribuido poderosamente a aclarar la estructura de los objetos lógicos, en contraposición a los materiales y aun en contraposición a los matemáticos, pese a las analogías formales entre la matemática y la lógica, que Boole señaló. Su obra principal es Investigación de las leyes del pensamiento en las que se fundan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad, 1854, que aún hoy se lee con deleite.

Augustus De Morgan

La mayor contribución de Augustus De Morgan (1806-1871) en el estudio de la lógica incluye la formulación de las Leyes de Morgan y su trabajo fundamenta la teoría del desarrollo de las relaciones y la matemática simbólica moderna o lógica matemática. De Morgan es autor de la mayor contribución como reformador de la lógica.

Georg F. Cantor


Al matemático alemán Georg F. Cantor, 1845-1918, se debe la idea del infinito continuo, es decir, la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados simultáneamente. Se le considera el creador de la teoría de los números irracionales y de los conjuntos.

Gentzen

El alemán Gentzen (1909-1945) formuló la prueba de la consistencia de un sistema de aritmética clásica en el cual el método no elemental es una extensión de inducción matemática a partir de una secuencia de números naturales a un cierto segmento de números ordinales transfinitos.

Bertrand Rusell

Bertrand Rusell (1872-1970) es uno de los creadores de la logística y uno de los pensadores de mayor influencia en la filosofía científica contemporánea. Lo fundamental en su obra es su aportación a la lógica. Anti-aristotélico por excelencia llegó a afirmar que para iniciarse en lógica lo básico era no estudiar la lógica de Aristóteles. Conociendo los trabajos de Cantor descubre en la Teoría de Conjuntos varias paradojas que resuelve mediante la Teoría de los Tipos. Años más tarde establece una teoría similar, -la de la jerarquía de los lenguajes- para eliminar las paradojas semánticas. Siguiendo además de los trabajos de Cantor, a Peano y Frege, Rusell se propone fundamentar y axiomatizar la matemática a partir de conceptos lógicos. Este empeño culmina con la publicación (1910-1913) de los monumentales Principia Mathematica -en colaboración con Whitehead-, obra que, además, sienta las bases de la moderna lógica formal.

Kurt Gödel

Kurt Gödel (1906-1978) aporta múltiples contribuciones a la lógica matemática, destacando la demostración de la consistencia de la hipótesis cantoriana del continuo y el teorema y prueba de incompletez semántica. En Sobre las proposiciones indecidibles de los sistemas de matemática formal establece que es imposible construir un sistema de cálculo lógico suficientemente rico en el que todos sus teoremas y enunciados sean decidible dentro del sistema. Con este teorema se demostró definitivamente que era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización completa de la matemática propugnado por Hilbert y otros, ya que, según él, no puede existir una sistematización coherente de la misma tal que todo enunciado matemático verdadero admita demostración. Siempre habrá enunciados que no son demostrables ni refutables. Para probar esta aserción se sirvió de la matematización de la sintaxis lógica.

La Revolución Digital

Esta revolución se inicia con la invención de la computadora digital y el acceso universal a las redes de alta velocidad. Turing relaciona lógica y computación antes que cualquier computadora procese datos. Weiner funda la ciencia de la Cibernética. En las Escuelas modernas de Computación están presentes Lógicos que han permitido avances importantes como Hoare que presenta un sistema axiomático de los sistemas de programación y Dijkstra con un sistema de verificación y deducción de programas a partir de especificaciones.

Alan Turing

Matemático y Lógico pionero en Teoría de la Computación que contribuye a importantes análisis lógicos de los procesos computacionales. Las especificaciones para la computadora abstracta que él idea -conocida como Máquina de Turing-, resulta ser una de sus más importantes contribuciones a la Teoría de la Computación. Turing además prueba que es posible construir una máquina universal con una programación adecuada capaz de hacer el trabajo de cualquier máquina diseñada para resolver problemas específicos. La Máquina de Turing es un intento para determinar si la matemática se puede reducir a algún tipo simple de computación. Su objetivo fue desarrollar la máquina más simple posible capaz de realizar computación. La máquina propuesta por Turing es un dispositivo relativamente simple, pero capaz de realizar cualquier operación matemática. Turing se ilusionó con la idea de que su máquina podía realizar cualquier proceso del cerebro humano, inclusive la capacidad de producir conciencia de uno mismo.

Norbert Weiner

El científico norteamericano Norbert Weiner (1894-1964) en 1947 publica su libro más famoso: Cibernética, o control y comunicación en el animal y la máquina; en donde se utiliza por primera vez la palabra Cibernética. Existen muchas definiciones de Cibernética -del griego kybernetes, piloto-, y Norbert Weiner da vida a la palabra con una definición simple: La Cibernética es la ciencia que estudia la traducción de procesos biológicos a procesos que reproduce una máquina. Desde los inicios la Cibernética se relaciona directamente con ciencias como Neurología, Biología, Biosociología, Robótica e Inteligencia Artificial.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Matemático y lógico alemán (1881-1966) conocido como LEJ Brouwer y fundador de la escuela de la Lógica intuicionista contrarrestando definitivamente el formalismo de Hilbert. Miembro del Significs Group son significativos sus trabajos Life, Art and Mysticism (1905) y Sobre la infiabilidad de los principios lógicos.

Alfred Tarski

Matemático y lógico y filósofo polaco (1902-1983). Emérito profesor de la Universidad de California, Berkeley, realiza importantes estudios sobre álgebra en general, teoría de mediciones, lógica matemática, teoría de conjuntos, y metamatemáticas. El trabajo de Tarski incluye respuestas a la paradoja de Banach-Tarski, el teorema de la indefinibilidad de la verdad, las nociones de cardinal, ordinal, relación y es inductor de las álgebras cilíndricas.

Benoit Mandelbrot

El gran impulsor de la matemática contemporánea y pionero de la geometría fractal a quien la computación pura revela la moderna Geometría de la Naturaleza. Fractal y geometría fractal son el corpus principal de sus investigaciones además de los sistemas irreversibles. A la práctica totalidad de disciplinas se aplican hoy sus principios dando por sentado paradigmas como la Teoría del Caos que a finales del siglo XX ya contemplaba el estudio de sistemas dinámicos, irreversibles, caóticos.

La siguiente Revolución Lógica

La siguiente Revolución Lógica incorpora la fusión entre matemáticas y computación. Las computadoras tienden a explorar datos inteligentemente transfiriendo información de las bases de datos a las bases de conocimiento interconectadas a través de la Red a escala infinitesimal.
La lógica evoluciona pues como un gen hacia la culminación del conocimiento libre que nace del rigor formal de la Matemática griega; emerge renovadamente de etapas de persecución tan oscuras como la Edad Media y otros intentos más recientes; hasta el intercambio constante y continuo de datos en la moderna era de estructura de redes que Internet proporciona a modo neuronal a la Humanidad.

Glosario de términos elementales en la Lógica Matemática

Axioma, en la lógica y la matemática tradicional se entiende como un principio básico que se asume como verdadero sin recurrir o requerir de demostración alguna. El uso de axiomas para la resolución de problemas matemáticos empezó en la antigua Grecia, probablemente a partir del siglo V a.C., dio lugar al nacimiento de la matemática pura tal como hoy la conocemos. U ejemplo de axioma podría ser el llamado principio de contradicción el cual establece que: "Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo". La lógica, la lógica matemática y las matemáticas puras pueden dar inicio a su estudio con algunas proposiciones no demostrables, o postulados iniciales, a partir de los cuales se infieren otras proposiciones. Hay que reconocer que este procedimiento es circular o bien que se da una infinita regresión en el razonamiento. Los axiomas de un sistema deben ser coherentes con algún otro, es decir, deben evitar incurrir en contradicción. Deben ser también independientes en el sentido de que no deben derivarse de ningún otro y deben ser muy pocos en número. A veces los axiomas han de interpretarse como verdades evidentes en sí mismas. La tendencia actual es reconocer tal pretensión para aseverar que un axioma debe ser asumido como verdadero sin demostración alguna en el sistema en que forma parte.

Postulado, los términos axioma y postulado suelen utilizarse con frecuencia como sinónimos. Algunas veces la palabra axioma se usa para referirse a los principios básicos que deben ser asumidos en cualquier sistema deductivo, y el término postulado para señalar a los primeros principios peculiares de un sistema particular, como la geometría de Euclides. Rara vez se usa el término axioma para referirse a los primeros principios de la lógica, ni el término postulado para aludir a los primeros principios de las matemáticas.

Hipótesis, término procedente del griego que designa, etimológicamente, ‘aquello que se encuentra debajo de algo sirviéndole de base o fundamento’. En lógica filosófica, se entiende por hipótesis un enunciado (o un conjunto de enunciados) que precede a otros enunciados y constituye su fundamento. Asimismo, puede definirse como una proposición cuya verdad o validez no se cuestiona en un primer momento, pero que permite iniciar una cadena de razonamientos que luego puede ser adecuadamente verificada. Así, un ‘razonamiento por hipótesis’ es aquel que comienza ‘suponiendo’ la validez de una afirmación, sin que ésta se encuentre fundamentada o sea universalmente aceptada. La formulación de hipótesis adecuadas y correctamente fundamentadas en la experiencia es uno de los rasgos esenciales del método científico, desde Galileo e Isaac Newton. En lógica, la hipótesis toma la forma de un enunciado condicional, que debe seguir determinadas reglas para su admisión como razonamiento válido.

Enunciado, expresión lingüística de un juicio, una orden, un consejo o una duda, entre otras posibilidades. En la lógica, suele identificarse con una proposición, aunque, en realidad, el enunciado designa el hecho de expresar una determinada proposición. El concepto de enunciado posee, sin embargo, un significado más general que el de proposición, ya que ésta posee siempre una determinada estructura lógica y se encuentra sometida a las reglas de la lógica. John Langshaw Austin y Michel Foucault, dos filósofos contemporáneos, propusieron diferentes análisis de enunciado. Así, Austin distinguía entre ‘enunciados constatativos’ (constatan lo que es y proporcionan una información) y ‘enunciados performativos’ (producen determinados acontecimientos por el mero hecho de expresarlos); Foucault, en cambio, planteaba que un enunciado es una forma de decir o expresar que exige un contexto determinado (un cierto ‘orden del discurso’) para poder ser comprendido.

Lógica (del griego, logos, 'palabra', 'proposición', 'razón'), disciplina y rama de la filosofía que estudia los principios formales del conocimiento humano. Su principal análisis se centra en la validez de los razonamientos y argumentos, por lo que se esfuerza por determinar las condiciones que justifican que el individuo, a partir de proposiciones dadas, llamadas premisas, alcance una conclusión derivada de aquéllas. La validez lógica depende de la adecuada relación entre las premisas y la conclusión, de tal forma que si las premisas son verdaderas la conclusión también lo será. Por ello, la lógica se encarga de analizar la estructura y el valor de verdad de las proposiciones, y su clasificación.

La validez de una proposición se tomará de la veracidad de la conclusión. Si una de las premisas, o más, es falsa, la conclusión de una proposición válida será falsa. Por ejemplo: “Todos los mamíferos son animales de cuatro patas, todos los hombres son mamíferos, por lo tanto, todos los hombres son animales de cuatro patas” es una proposición válida que conduce a una conclusión falsa. Por otro lado, una proposición nula puede, por casualidad, llegar a una conclusión verdadera: “Algunos animales tienen dos patas; todos los hombres son animales, por lo tanto todos los hombres tienen dos patas” representa una conclusión verdadera, pero la proposición no lo es. Por lo tanto, la validez lógica depende de la forma que adopta la argumentación, no su contenido. Si la argumentación fuera válida, cualquier otro término podría sustituir a cualquiera de los casos utilizados y la validez no se vería afectada. Al sustituir “cuatro patas” por “dos patas” se comprueba que ambas premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa. Por lo tanto, la proposición no es correcta aunque posea una conclusión verdadera.

Lógica Aristotélica, la lógica que es conocida como lógica clásica (o tradicional) fue enunciada primeramente por Aristóteles, quien elaboró leyes para un correcto razonamiento silogístico. Un silogismo es una proposición hecha de una de estas cuatro afirmaciones posibles: “Todo A es B” (universal afirmativo), “Nada de A es B” (universal negativo), “Algo de A es B” (particular afirmativo) o “Algo de A no es B” (particular negativo). Las letras sustituyen a palabras comunes como “perro”, “animal de cuatro patas” o "cosa viviente", llamadas “términos” del silogismo. Un silogismo bien formulado consta de dos premisas y una conclusión, debiendo tener cada premisa un término en común con la conclusión y un segundo término relacionado con la otra premisa. En lógica clásica se formulan reglas por las que todos los silogismos bien construidos se identifican como formas válidas o no válidas de argumentación.

Lógica Moderna, a mediados del siglo XIX, los matemáticos británicos George Boole y Augustus De Morgan abrieron un nuevo campo a la lógica, hoy conocido como lógica simbólica (o moderna), que más tarde fue desarrollada por el matemático alemán Gottlob Frege y de un modo especial por los matemáticos británicos Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en Principia Mathematica (constituido por 3 volúmenes, 1910-1913). El sistema lógico de Russell y Whitehead cubre un espectro mayor de posibles argumentaciones que las que se pueden encontrar en la lógica silogística. Introduce símbolos para frases enteras y para las conjunciones que las unen, como “o”, “y”, “si... entonces...”. Cuenta con símbolos diferentes para el sujeto lógico y el predicado lógico de una frase; y adjudica símbolos para distinguir las clases, para los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a una clase y la inclusión en una clase. También se aleja de la lógica clásica en sus suposiciones de la existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones universales. La afirmación “Todo A es B” significa en lógica moderna que “Si algo es A, entonces es B”; lo que, a diferencia de la lógica tradicional, no significa que todo A existe. El primer manual de lógica formal publicado en español fue la obra de Juan David García Bacca titulada Introducción a la lógica moderna (1936). Tanto la rama clásica como la moderna implican métodos de lógica deductiva. En cierto sentido, las premisas de una proposición válida contienen la conclusión, y la verdad de la conclusión se deriva de la verdad de las premisas. También se han hecho esfuerzos para desarrollar métodos de lógica inductiva como las que sostienen que las premisas conllevan una evidencia para la conclusión, pero la verdad de la conclusión se deduce, sólo con un margen relativo de probabilidad, de la verdad de la evidencia. La contribución más importante a la lógica inductiva fue la aportada por el filósofo británico John Stuart Mill, quien en Sistema de Lógica (1843) estructuró los métodos de prueba que, según su interpretación, iban a caracterizar la ciencia empírica. Este estudio ha desembocado, en el siglo XX, en el campo conocido como filosofía de la ciencia. Muy relacionada con ésta se encuentra la rama de las matemáticas llamada teoría de la probabilidad. Tanto la lógica moderna como la clásica asumen en sus formas más corrientes que cualquier proposición bien elaborada puede ser o verdadera o falsa. En años recientes se han desarrollado sistemas de la denominada lógica combinatoria: una afirmación puede tener un valor distinto a verdadero o falso. En algunos supuestos es sólo un tercer valor neutro, en otros es un valor de probabilidad expresado como una fracción que oscila entre 0 y 1 o entre -1 y +1. También se han llevado a cabo serios trabajos para desarrollar sistemas de lógica modal, con el objeto de representar las relaciones lógicas entre las afirmaciones de posibilidad e imposibilidad, de necesidad y contingencia. Otra vía es la que propone la lógica deóntica: la investigación de las relaciones lógicas entre órdenes o entre afirmaciones de obligación. Muy relacionadas con la lógica se encuentran la semántica o filosofía del lenguaje, que trata acerca del significado de las palabras y de las frases; la epistemología, o teoría del conocimiento, que se ocupa de las condiciones bajo las cuales las afirmaciones son verdaderas; y la psicología del razonamiento, que se refiere a los procesos mentales que se siguen en el curso de un razonamiento. Algunos tratados sobre lógica incluyen estas materias, pero lo esencial de ese interés se ciñe a las relaciones lógicas entre diversas afirmaciones contrapuestas.

Módulo, es un conjunto coherente de objetivos, contenidos y actividades, diseñado de manera estructurada y flexible, que se elabora como guía para desarrollar programas de asignaturas de pregrado, diplomado post-título y post-grado.

Semántica (del griego semantikos, 'lo que tiene significado'), estudio del significado de los signos lingüísticos, esto es, palabras, expresiones y oraciones. Quienes estudian la semántica tratan de responder a preguntas del tipo "¿Cuál es el significado de X (la palabra)?". Para ello tienen que estudiar qué signos existen y cuáles son los que poseen significación —esto es, qué significan para los hablantes, cómo los designan (es decir, de qué forma se refieren a ideas y cosas), y por último, cómo los interpretan los oyentes—. La finalidad de la semántica es establecer el significado de los signos —lo que significan— dentro del proceso que asigna tales significados. La semántica se estudia desde una perspectiva filosófica (semántica pura), lingüística (semántica teórica y descriptiva) así como desde un enfoque que se conoce por semántica general. El aspecto filosófico está asentado en el conductismo y se centra en el proceso que establece la significación. El lingüístico estudia los elementos o los rasgos del significado y cómo se relacionan dentro del sistema lingüístico. La semántica general se interesa por el significado, por cómo influye en lo que la gente hace y dice. Cada uno de estos enfoques tiene aplicaciones específicas. En función de la semántica descriptiva, la antropología estudia lo que entiende un pueblo por importante desde el punto de vista cultural. La psicología, sustentada por la semántica teórica, estudia qué proceso mental supone la comprensión y cómo identifica la gente la adquisición de un significado (así como un fonema y una estructura sintáctica). El conductismo aplicado a la psicología animal estudia qué especies animales son capaces de emitir mensajes y cómo lo hacen. Quienes se apoyan en la semántica general examinan los distintos valores (o connotaciones) de los signos que supuestamente significan lo mismo, (del tipo 'el manco de Lepanto' y 'el autor del Quijote', para referirse los dos a Cervantes). La crítica literaria, influida por los estudios que distinguen la lengua literaria de la popular, describe cómo las metáforas evocan sentimientos y actitudes, entroncándose también en la semántica general.

Teorema, proposición que afirma una verdad demostrable, es un enunciado de una propiedad o proposición seguida de una demostración, es el resultado de un estudio matemático o de un sistema formal.

Paradoja, en el campo de la lógica y en el de las matemáticas, designa una conclusión contradictoria en apariencia que se deriva de lo que se plantea como premisas válidas. Las paradojas se conocen desde la época del filósofo griego Zenón de Elea en el siglo V aC. Muchas paradojas, tras ser sometidas a examen, resultan estar basadas sobre premisas o argumentos falsos, o sobre presuposiciones incompletas que subyacen en los sistemas lógicos o matemáticos implicados. Otras paradojas, de cualquier modo, han sido más difíciles de resolver y su estudio ha contribuido a la evolución de las matemáticas modernas. Las paradojas semánticas dependen de la estructura del lenguaje, y asimismo la paradoja se utiliza a menudo como un recurso retórico en epigramas, poesía y otras formas de la escritura literaria.

Proposición, enunciado en el que se afirma algo, que puede ser verdadero o falso. Suele ser la expresión de un juicio y, por lo tanto, todo lo que se considera en un juicio tiene su reflejo en la proposición. Muchas veces se emplea ‘proposición’ en el mismo sentido que ‘enunciado’. Según la definición clásica de Aristóteles, una proposición es un discurso enunciativo que expresa un juicio y posee un significado que es verdadero o falso. La lógica se encarga de analizar la estructura y el valor de verdad de las proposiciones, así como su clasificación. Mientras que en la lógica clásica se afirma que la proposición (como el juicio) se compone de sujeto, verbo o cópula y predicado, la lógica formal moderna afirma que la proposición se compone de un ‘argumento’ (sujeto) y un ‘predicado’ (verbo). En lógica simbólica, el cálculo de proposiciones analiza la estructura formal de las proposiciones y el valor de verdad que éstas poseen.

Lógica Difusa o Lógica FUZZY, de uso preferente en la informática, se caracteriza por ser una forma de lógica que se utiliza en algunos sistemas expertos y en otras aplicaciones de inteligencia artificial, en la que las variables pueden tener varios niveles de verdad o falsedad representados por rangos de valores entre el 1 (verdadero) y el 0 (falso). Con la lógica FUZZY, el resultado de una operación se puede expresar como una probabilidad y no necesariamente como una certeza. Por ejemplo, además de los valores verdadero o falso, un resultado puede adoptar valores tales como probablemente verdadero, posiblemente verdadero, posiblemente falso y probablemente falso.

Filosofía de la Ciencia, investigación sobre la naturaleza general de la práctica científica. La filosofía de la ciencia se ocupa de saber cómo se desarrollan, evalúan y cambian las teorías científicas, y si la ciencia es capaz de revelar la verdad de las entidades ocultas y los procesos de la naturaleza. Su objeto es tan antiguo y se halla tan extendido como la ciencia misma. Algunos científicos han mostrado un vivo interés por la filosofía de la ciencia y unos pocos, como Galileo, Isaac Newton y Albert Einstein, han hecho importantes contribuciones. Numerosos científicos, sin embargo, se han dado por satisfechos dejando la filosofía de la ciencia a los filósofos, y han preferido seguir 'haciendo ciencia' en vez de dedicar más tiempo a considerar en términos generales cómo 'se hace la ciencia'. Entre los filósofos, la filosofía de la ciencia ha sido siempre un problema central; dentro de la tradición occidental, entre las figuras más importantes anteriores al siglo XX destacan Aristóteles, René Descartes, John Locke, David Hume, Immanuel Kant y John Stuart Mill. Gran parte de la filosofía de la ciencia es indisociable de la epistemología, la teoría del conocimiento, un tema que ha sido considerado por casi todos los filósofos. Importa destacar los aportes de Karl Popper, filósofo de la ciencia, de origen austriaco, famoso por su teoría del método científico y por su crítica del determinismo histórico La contribución más significativa de Popper a la filosofía de la ciencia fue su caracterización del método científico. En su Lógica de la investigación científica (1934), criticó la idea prevaleciente de que la ciencia es, en esencia, inductiva. Propuso un criterio de comprobación que denominó falsabilidad, para determinar la validez científica, y subrayó el carácter hipotético-deductivo de la ciencia. Las teorías científicas son hipótesis a partir de las cuales se pueden deducir enunciados comprobables mediante la observación; si las observaciones experimentales adecuadas revelan como falsos esos enunciados, la hipótesis es refutada. Si una hipótesis supera el esfuerzo de demostrar su falsedad, puede ser aceptada, al menos con carácter provisional. Ninguna teoría científica, sin embargo, puede ser establecida de una forma concluyente.

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La Animación en 3D, el Videogame, la Robótica, la Electrónica, la Informática, la Mecánica y las herramientas son mis fascinaciones laborales y de entretenimiento...

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Aquí les presento dispositivos de hardware para armar una super PC tipo xtreme para gamers:
Motherboard con sockets de las series i o x58 Tarjetas de video de última generación: ATI o Gforce Nvidia Tarjetas de memoria RAM DDR3 de capacidades superiores a los 2Gb y velocidades superiores a los 800 MHz Fuentes de poder superior a los 500W Coolers y extractores de aires (Fan Cooler) Case tipo Thermaltake Armor Monitor de alta resolución Lector de BlueRay, DVD doble capas, DVDs RW-RAM, CDs y quemador (S-ATA) Lector de memoria SD USB ports (High Speed) Tarjeta de sonido Hard Disk superior a los 200Gb (S-ATA) OS Win 7, 8 y/o 8.1
Puedes encontrar estos dispositivos por aquí